精英家教網(wǎng)如圖,已知E、F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中點(diǎn),求證:四邊形EBFD1是菱形.
分析:根據(jù)菱形的定義直接證明即可.
解答:證明:取棱BB1中點(diǎn)為G,連C1G、EG,
由正方體性質(zhì),側(cè)面AB B1A1為正方形,
又E、G分別為邊AA1、BB1中點(diǎn),
所以 EG=A1B1=C1D1,EG∥A1B1∥C1D1
從而四邊形EGC1D1為平行四邊形,
∴D1E∥C1G,D1E=C1G,
又F、G分別為棱CC1、BB1中點(diǎn),
由側(cè)面CB B1C1為正方形,知四邊形BGC1F 為平行四邊形,
所以BF∥C1G,BF=C1G,
又∴D1E∥C1G,D1E=C1G,
由平行公理可知D1E=BF,D1E∥BF,
從而四邊形EBFD1 為平行四邊形.
由ABCD-A1B1C1D1為正方體,不妨設(shè)其棱長為a,易
知 BE=BF=
5
2
a
而由四邊形 EBFD1為平行四邊形,從而即為菱形.
點(diǎn)評:本題主要考查菱形的判斷和證明,利用平行的傳遞性是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

如圖,已知E,FG分別為正方體ABCD-A1B1C1D1AB、B1C1DD1上的一點(diǎn),試過EF、G三點(diǎn)作正方體ABCD-A1B1C1D1的截面.

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如圖,已知EF、G、H、K、L分別為正方體AC1的棱AA1AB、BC、CC1C1D1、A1D1的中點(diǎn).

求證:EFGH、KL三線共面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

(1)求證:E、F、G、H四點(diǎn)共面;

(2)求證:BD//平面EFGH;

(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn),求證:對于空間任意一點(diǎn)O有

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