Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關于的方程在區(qū)間內(nèi)無零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（2）

【解析】

（1）求出導數(shù)，然后由得增區(qū)間，得減區(qū)間．

（2）在上，方程化為，求出導函數(shù)，

由時，，因此對分類討論，時，恒成立，時，有解，通過研究的單調(diào)性可得到的單調(diào)性，由零點存在定理確定有無零點．綜合后可得結論．

（1）依題意，．

令，解得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，

由，得，單調(diào)減區(qū)間是．

（2）原方程可化為，即．

令，，則．

是增函數(shù)，時，，

(ⅰ)當時，恒成立．

在上是增函數(shù)，，故原方程在內(nèi)無零點．

(ⅱ)當時，由得，時，，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又，在區(qū)間上恒小于0．∴，

下面討論的正負；

令，．

則，

令是的導函數(shù)，

則，在上增函數(shù)．

．即，又

由零點存在性定理知，原方程在上有零點．即在上有零點．

綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍是．