Question

13．已知△ABC的三個頂點A（0，2），B（0，4），C（1，3），其外接圓為圓M
（1）求圓M的方程；
（2）若直線l過點D（$\frac{1}{2}$，2），且被圓M截得的弦長為$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）設(shè)點P為圓M上異于A，B的任意一點，直線PA交x軸于點E，直線PB交x軸于點F，問以EF為直徑的圓N是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求方程；
（2）對直線l是否存在斜率進行討論，利用垂徑定理列方程解出；
（3）設(shè)PA的斜率為k，則PB的斜率為-$\frac{1}{k}$，求出E，F(xiàn)的坐標得出圓N的方程化簡，根據(jù)方程特點得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{16+4E+F=0}\\{10+D+3E+F=0}\end{array}\right.$，解得D=0，E=-6，F(xiàn)=8．
∴圓M的方程為x²+y²-6y+8=0．
（2）圓M的圓心為M（0，3），半徑r=1．
①若直線l無斜率，即直線l方程為x=$\frac{1}{2}$，
此時圓心M到直線l的距離d=$\frac{1}{2}$，
∴直線l被圓M截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-fh01mtm^{2}}$=$\sqrt{3}$，符合題意；
②若直線l有斜率，設(shè)直線l的方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$）+2，即kx-y-$\frac{1}{2}k$+2=0，
∴圓心M到直線的距離d=$\frac{|1-\frac{1}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=$\frac{3}{4}$．∴直線l的方程為$\frac{3}{4}x-y+\frac{13}{8}=0$，即6x-8y+13=0，
綜上，直線l的方程為x=$\frac{1}{2}$或6x-8y+13=0．
（3）設(shè)直線PA斜率為k，則直線PB的斜率為-$\frac{1}{k}$，
∴直線PA的方程為y=kx+2，直線PB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+4，
∴E（-$\frac{2}{k}$，0），F(xiàn)（4k，0）．
∴N（2k-$\frac{1}{k}$，0），圓N的半徑為$\frac{|EF|}{2}$=|2k+$\frac{1}{k}$|，
∴以EF為直徑的圓N的方程為（x-2k+$\frac{1}{k}$）²+y²=（2k+$\frac{1}{k}$）²，
即x²+y²-2（2k-$\frac{1}{k}$）x-8=0，
令x=0得y=±2$\sqrt{2}$．
∴圓N過定點（0，2$\sqrt{2}$）和（0，-2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了圓的方程與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．