Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈［1，＋∞．

（1）當a=時，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）若對任意x∈［1，＋∞，f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）當a=時，f（x）=x＋＋2， ∵f（x）在區(qū)間［1，＋∞）上為增函數(shù)， ∴f（x）在區(qū)間［1，＋∞）上的最小值為f（1）=． （2）方法一：在區(qū)間［1，＋∞）上，f（x）=＞0恒成立 x2＋2x＋a＞0恒成立. 設y=x2＋2x＋a，x∈［1，＋∞）， y=x2＋2x＋a=（x＋1）2＋a－1遞增，∴當x=1時，ymin=3＋a， 于是當且僅當ymin=3＋a＞0時，函數(shù)f（x）恒成立，故a＞－3． 方法二：f（x）=x＋＋2，x∈［1，＋∞）， 當a≥0時，函數(shù)f（x）的值恒為正，當a＜0時，函數(shù)f（x）遞增， 故當x=1時，f（x）min=3＋a，于是當且僅當 f（x）min=3＋a＞0時，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故a＞－3. 方法三：在區(qū)間［1，＋∞上f（x）=x恒成立x2＋2x+a＞0恒成立 提示：