Question

若二項式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（Ⅰ）展開式中含x的項；
（Ⅱ）展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析：先求出二項式的展開式的通項公式：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

，由已知可前三項成等差熟練可求n的值
，進而可得通項公式為Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4可得r，代入可求
（II）要求展開式中所有的有理項，只需要讓

16-3r

4

為整數(shù)可求r的值，當(dāng)r=0，4，8時，進而可求得有理項

解答：解：二項式的展開式的通項公式為：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

前三項的r=0，1，2
得系數(shù)為t1=1，t2=

C

1 n

•

1

2

=

1

2

n，t3=

C

2 n

•

1

4

=

1

8

n(n-1)
由已知：2t2=t1+t3，n=1+

1

8

n(n-1)
得n=8
通項公式為Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4，得r=4，得T5=

35

8

x
（II）當(dāng)r=0，4，8時，依次得有理項T1=x4，T5=

C

4 8

1

24

x=

35

8

x，T9=

C

8 8

1

28

x-2=

1

256

x2

點評：本題主要考查了二項展開時的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握二項展開式的通項公式，根據(jù)通項公式可求展開式的指定項