Question

17．已知圓O的方程為x²+y²=5．
（1）P是直線y=$\frac{1}{2}$x-5上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，求證：直線CD過定點；
（2）若EF、GH為圓O的兩條互相垂直的弦，垂足為M（1，1），求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P的坐標(biāo)，寫出以O(shè)P為直徑的圓的方程，與圓方程聯(lián)立即可求得直線CD的方程，結(jié)合P在直線y=$\frac{1}{2}$x-5，利用線系方程證明直線CD過定點；
（2）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁、d₂，則$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=2$且$|EF|=2\sqrt{5-d_1^2}，|GH|=2\sqrt{5-d_2^2}$，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得四邊形EGFH面積的最大值．

解答 （1）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則${y_0}=\frac{1}{2}{x_0}-5$，
由題意，OCPD四點共圓，且直徑是OP，
其方程為${（x-\frac{x_0}{2}）^2}+{（y-\frac{y_0}{2}）^2}={（\frac{x_0}{2}）^2}+{（\frac{y_0}{2}）^2}$，即x²+y²-x₀x-y₀y=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-{x_0}x-{y_0}y=0\\{x^2}+{y^2}=5\end{array}\right.$，得：x₀x+y₀y=5．
∴直線CD的方程為：x₀x+y₀y=5．
又${y_0}=\frac{1}{2}{x_0}-5$，∴${x_0}x+（\frac{1}{2}{x_0}-5）y=5$，即（2x+y）x₀-10（y+1）=0．
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y=0\\ y+1=0\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1\end{array}\right.$．
∴直線CD過定點$（\frac{1}{2}，-1）$；
（2）解：設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d₁、d₂，則$d_1^2+d_2^2=O{M^2}=2$．
∴$|EF|=2\sqrt{5-d_1^2}，|GH|=2\sqrt{5-d_2^2}$，
故${S_{EGFH}}=\frac{1}{2}|EF||GH|=2\sqrt{（5-d_1^2）（5-d_2^2）}$$≤（5-d_1^2）+（5-d_2^2）=10-（d_1^2+d_2^2）=8$．
當(dāng)且僅當(dāng)$5-d_1^2=5-d_2^2$，即d₁=d₂=1時等號成立．
∴四邊形EGFH面積的最大值為8．

點評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．