Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

（I）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=lnx+x²的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

1

x

+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值為1；
（II）f′（x）=

1

x

+2x-2a=

2x2-2ax+1

x

，設(shè)g（x）=2x²-2ax+1
由題意知，在區(qū)間[

1

2

，2]上存在于區(qū)間使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于拋物線g（x）=2x²-2ax+1開(kāi)口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（

1

2

）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜

9

4

，由g（

1

2

）＞0，即

1

2

-a+1＞0，∴a＜

3

2

，
∴a＜

9

4

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，

9

4

）
（III）∵f′（x）=

2x2-2ax+1

x

，設(shè)h（x）=2x²-2ax+1，
①顯然，當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
這時(shí)f′（x）＞0此時(shí)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
當(dāng)x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時(shí)，h（x）＞0，這時(shí)f′（x）＞0，
∴當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)a≤

2

時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞

2

時(shí)，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；