Question

11．如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在$\widehat{AB}$上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求證：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PCB．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OE∥PA，從而OE∥平面PAC，由OM∥AC，得OM∥平面PAC．由此能證明平面MOE∥平面PAC．
（2）推導(dǎo)出BC⊥AC，PA⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面PAC．由此能證明平面PAC⊥平面PBC．

解答 （本小題滿分10分）
證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA．
因?yàn)镻A?平面PAC，OE?平面PAC，
所以O(shè)E∥平面PAC．因?yàn)镺M∥AC，
又AC?平面PAC，OM?平面PAC，
所以O(shè)M∥平面PAC．
因?yàn)镺E?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM=O，
所以平面MOE∥平面PAC．…（5分）
（2）因?yàn)辄c(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC．
因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因?yàn)锳C?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC．
因?yàn)锽C?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．