Question

4．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線l交拋物線于A、B兩點，O為坐標原點，且△OAB的重心為 $（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₀，4），通過|PF|=4，結(jié)合拋物線的定義，解得p=4，從而拋物線的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty+m，代入y²=8x利用韋達定理以及三角形的重心坐標，求出t，m即可求直線方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，4），因為|PF|=4，由拋物線的定義得${x_0}+\frac{p}{2}=4$，又4²=2px₀，
因此$\frac{8}{p}+\frac{p}{2}=4$，解得p=4，從而拋物線的方程為y²=8x．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty+m，代入y²=8x得y²-8ty-8m=0，△OAB的重心為 $（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=t（{y_1}+{y_2}）+2m=4\\{y_1}+{y_2}=8t=4\end{array}\right.⇒t=\frac{1}{2}，m=1$，∴$x=\frac{1}{2}y+1$
即所求直線方程為：2x-y-2=0．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．