Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+

1

x

（x＞0），若f（x）≥

1

2

恒成立，則是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）≥

1

2

恒成立，變?yōu)閤|x-a|＞

1

2

x-1根據(jù)函數(shù)函數(shù)的圖象求a的取值范圍．

解答：解：由f（x）≥

1

2

恒成立，變?yōu)閤|x-a|＞

1

2

x-1，令g（x）=x|x-a|，r（x）=

1

2

x-1
1°當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x-a+

1

x

≥2-a＞

1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1是等號(hào)成立）
∴a≤0時(shí)，f（x）≥

1

2

恒成立；
2°當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）≥

1

2

恒成立，變?yōu)閤|x-a|＞

1

2

x-1，令g（x）=x|x-a|，r（x）=

1

2

x-1
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖

1

2

a-1≤0，可得0＜a≤2
綜上知a≤2
故答案為a≤2

以下是本題的一個(gè)錯(cuò)誤解法，因?yàn)楣ぞ哌x擇的不當(dāng)，造成答案錯(cuò)誤，在時(shí)看時(shí)很合理的作法，不一定正確，本題的錯(cuò)誤主要在分類不清，有興趣的同學(xué)可以看一下，汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)
函數(shù)f(x)=|x-a|+

1

x

 （x＞0）
1°當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x-a+

1

x

≥2-a＞

1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1是等號(hào)成立）
∴a≤0時(shí)，f（x）≥

1

2

恒成立；
2°當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=

x-a+ 1 x x≥a a-x+ 1 x x＜a

①x≥a時(shí)，f（x）≥

1

2

恒成立，
∴2-a≥

1

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1是等號(hào)成立）
解得0＜a≤

3

2

②x＜a時(shí)，f（x）=a-x+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，“f（x）≥

1

2

恒成立”不成立．
綜上a的取值范圍是 a≤

3

2

．
故答案為a≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的思想方法；不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù)的圖象解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．