Question

已知點(diǎn)M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲線C上的兩點(diǎn)，點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)E（x_E，0）和點(diǎn)F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分別表示x_E和x_F；
（Ⅱ）當(dāng)曲線C的方程分別為：x²+y²=R²（R＞0）、時(shí)，探究x_E•x_F的值是否與點(diǎn)M、N、P的位置相關(guān)；
（Ⅲ）類比（Ⅱ）的探究過(guò)程，當(dāng)曲線C的方程為y²=2px（p＞0）時(shí)，探究x_E與x_F經(jīng)加、減、乘、除的某一種運(yùn)算后為定值的一個(gè)正確結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意N（k，-l），由klmn≠0及MP、NP與x軸有交點(diǎn)知M、P、N為不同點(diǎn)，直線PM的方程為，由此能夠推導(dǎo)出x_E和x_F．
（Ⅱ）由M，P在圓C：x²+y²=R²上，知，（定值）．所以x_E•x_F的值是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)．同理知x_E•x_F的值是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)．
（Ⅲ）一個(gè)探究結(jié)論是：x_E+x_F=0．證明如下：依題意，，．由M，P在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，能夠?qū)С鰔_E+x_F為定值．
解答：解：（Ⅰ）依題意N（k，-l），且∵klmn≠0及MP、NP與x軸有交點(diǎn)知：（2分）
M、P、N為不同點(diǎn)，直線PM的方程為，（3分）
則，同理可得．（5分）
（Ⅱ）∵M(jìn)，P在圓C：x²+y²=R²上，∴，
（定值）．
∴x_E•x_F的值是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)．（8分）
同理∵M(jìn)，P在橢圓C：上，∴，（定值）．
∴x_E•x_F的值是與點(diǎn)M、N、P位置無(wú)關(guān)．（11分）
（Ⅲ）一個(gè)探究結(jié)論是：x_E+x_F=0．（13分）
證明如下：依題意，，．
∵M(jìn)，P在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，∴n²=2pm，l²=2pk.．
∴x_E+x_F為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．