Question

（2013•湖州二模）在等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記cn=(-1)nbn+an，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d，根據(jù)b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列關(guān)于q，d的方程組解出即得q，d，再代入通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可；

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），等差數(shù)列{b_n}的公差為d．
由已知得：a2=3q，a3=3q2，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
所以

3q=3+3d 3q2=3+12d

⇒

q=1+d q2=1+4d

⇒q=3或 q=1（舍去），
所以，此時(shí) d=2，
所以，an=3n，b_n=2n+1；
（Ⅱ） 由題意得：cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=n+

3n+1

2

-

3

2

=

3n+1

2

+n-

3

2

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=(n-1)-(2n+1)+

3n+1

2

-

3

2

=

3n+1

2

-n-

7

2

，
所以，Sn=

3n+1 2 +n- 3 2 (n為偶數(shù)時(shí)) 3n+1 2 -n- 7 2 (n為奇數(shù)時(shí))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的綜合及數(shù)列求和，考查方程思想，若數(shù)列{a_n}等差數(shù)列，則數(shù)列{（-1）ⁿa_n}的前n項(xiàng)和并項(xiàng)法求和，按n為奇數(shù)、偶數(shù)討論．