Question

9．已知拋物線y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，過(guò)y軸正半軸上一點(diǎn)C（0，c）作直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若P為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線l：y=-c于點(diǎn)Q，求證：QA，QB為拋物線的切線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，求出p的值，即可求出a的值；
（Ⅱ）運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，可得QA的斜率，求得拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可得證；

解答 解：（Ⅰ）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=$\frac{1}{a}$y，
即2p=$\frac{1}{a}$，
∵拋物線y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，即2p=$\frac{1}{a}$=1，
則a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=y，
設(shè)直線AB：y=kx+c，與y=x²聯(lián)立，得x²-kx-c=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=k，x₁x₂=-c，從而y₁y₂=x₁²x₂²=c²，
若P為線段AB的中點(diǎn)，則$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{2}$，
故直線PQ：x=$\frac{k}{2}$，可得$Q（{\frac{k}{2}，-c}）$．
設(shè)$A（{x_1}，x_1^2）$，k_QA=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+c}{{x}_{1}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由（Ⅰ）可得x₁x₂=-c，即有x₂=-$\frac{c}{{x}_{1}}$，
可得k_QA=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-（-\frac{c}{{x}_{1}}）}$=2x₁，
由y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
可得過(guò)A的切線的斜率為2x₁，
故直線QA與該拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；即QA為拋物線的切線．
同理可知QB也為拋物線的切線．
即QA，QB為拋物線的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，根據(jù)拋物線的定義求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵．聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合直線的斜率公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．