Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分別為棱AB，BC的中點，M為棱AA₁上的點，二面角M-DE-A為30°．
（I）證明：A₁B₁⊥C₁D；
（II）求MA的長，并求點C到平面MDE的距離．

Answer 1

分析：（I）連接CD，根據(jù)三垂線定理可得AB⊥C₁D，而A₁B₁平行AB，從而A₁B₁⊥C₁D；
（II）過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連接MF，根據(jù)定義可知∠MFA為二面角M-DE-A的平面角，在Rt△GAF中，∠GFA=30°，求出A到平面MDE的距離，再根據(jù)線面平行可知C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等．

解答：解：（I）證明：連接CD，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，∴CD為C₁D在平面ABC內(nèi)的射影．∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點，∴AB⊥CD，∴AB⊥C₁D∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥C₁D


（II）解：過點A作CE的平行線，
交ED的延長線于F，連接MF∵D，E分別為AB，BC的中點，∴DE∥AC
又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影∴MF⊥DE∴∠MFA為二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30°
在Rt△MAF中，AF=

1

2

BC=

a

2

，∠MFA=30°，∴AM=

3

6

a
作AG⊥MF，垂足為G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA=30°，AF=

a

2

，∴AG=

a

4

，即A到平面MDE的距離為

a

4

∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為

a

4

．

點評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維能力，屬于基礎(chǔ)題．