Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=
（Ⅰ）當a=2時，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當x＜0時，，
因為，所以f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
當x＞0時，，，由f′（x）＞0，解得，由f′（x）＜0，解得，
所以f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
綜上，f（x）增區(qū)間為（-∞，0）和，減區(qū)間為．
（Ⅱ）當x＜0時，由f（x）＞x-1，得，即，
設，
所以（當且僅當x=-1時取等號），
所以當x=-1時，g（x）有最大值-3，
因為對任何x＜0，不等式恒成立，所以a＞-3；
當x＞0時，由f（x）＞x-1，得，即，
設，則，
所以當，即時，h（x）有最小值，
因為對任何x＞0，不等式恒成立，所以．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
分析：（1）a=2時，當x＜0時，，當x＞0時，，可用導數(shù)判單調(diào)性；
（2）當x＜0時，f（x）＞x-1??，轉(zhuǎn)化為求的最大值問題
當x＞0時，f（x）＞x-1?，即，轉(zhuǎn)化為求的最小值，可用導數(shù)求解．
點評：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性判斷、已知不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，綜合性強，難度較大．