在△ABC中，若
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，則cosA=
3
6
3
6
．
分析：把給出的向量等式變形，寫(xiě)出數(shù)量積公式，代入三角形兩邊的乘積，把向量等式轉(zhuǎn)化為三角等式得到tanA，tanB，tanC的關(guān)系，然后利用三角形內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合兩角和的正切公式進(jìn)一步得到tanA，tanB，tanC的關(guān)系，換元后求解方程計(jì)算．
解答：解：由
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，得
BA
•
BC
3
=
CB
•
CA
2
=
AC
•
AB
，
設(shè)BA=c，BC=a，CA=b，△ABC的面積為S，
則S=
1
2
bcsinA，bc=
2S
sinA
．
又∵
AC
•
AB
=bc•cosA，將bc=
2S
sinA
代入
AC
•
AB
=bc•cosA得：
AC
•
AB
=
2S
tanA
，
∴原式即可化為
2S
3tanB
=
2S
2tanC
=
2S
tanA
，
即：3tanB=2tanC=tanA，
由tanA=-tan（B+C）=-
tanB+tanC
1-tanB•tanC
，
設(shè)tanA=x，則tanB=
x
3
，tanC=
x
2
．
∴x=
x
3
+
x
2
x
3
•
x
2
-1
，解得：x=
11
或x=-
11
 （舍）．
∴tanA=
11
．
∴cosA=
1
1+tan2A
=
1
1+11
=
3
6
．
故答案為：
3
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了正弦定理及兩角和的正切的應(yīng)用，訓(xùn)練了換元法，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在△ABC中，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，則△ABC的形狀是（　　）
A、直角三角形
B、正三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，若
AB
•
AC
=
AB
•
CB
=4，則邊AB的長(zhǎng)等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列五個(gè)結(jié)論：
①?x∈R，2x＞x2
②“若x2＜1，則-1＜x＜1”的逆否命題是“若-1＜x＜1，則x2≥1”；
③要得到y(tǒng)=cos2x的圖象，只需要將y=sin（2x+
π
4
）的圖象向左平移
π
8
個(gè)單位；
④在△ABC中，若
AB
•
CA
＞0，則∠A為銳角；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
12
]上是增函數(shù)，在[
π
12
，
π
2
]上是減函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
③⑤
③⑤
．（填寫(xiě)你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
（1）設(shè)
a
、
b
都是非零向量，則“
a
•
b
=±|
a
|•|
b
|”是“
a
、
b
共線”的充要條件
（2）將函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
（3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
π
3
，則△ABC必為銳角三角形；
（4）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；
其中正確命題的序號(hào)是
（1）（3）
（1）（3）
（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

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