已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+
2
=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=t
op
（O為坐標(biāo)原點），當(dāng)|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
時，求實數(shù)t取值范圍．
（Ⅰ）由題意知e=
c
a
=
2
2
，所以e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
．
即a2=2b2．（2分）
又因為b=
2
1+1
=1，所以a2=2，S△OBC•
OA
+S△OCA•
OB
+S△OBA•
OC
=
0
．
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1.
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，k2＜
1
2
．（6分）
x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1•x2=
8k2-2
1+2k2
∵
OA
+
OB
=t
OP
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x=
x1+x2
t
=
8k2
t(1+2k2)
，y=
yy+y2
t
=
1
t
[k(x1+x2)-4k]=
-4k
t(1+2k2)

∵點P在橢圓上，∴
(8k2)2
t2(1+2k2)2
+2
(-4k)2
t2(1+2k2)2
=2，∴16k2=t2（1+2k2）．（8分）
∵|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
，∴
1+k2
|x1-x2|＜
2
5
3
，∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜
20
9

∴(1+k2)[
64k4
(1+2k2)2
-4•
8k2-2
1+2k2
]＜
20
9
，∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，∴k2＞
1
4
．（10分）
∴
1
4
＜k2＜
1
2
，∵16k2=t2（1+2k2），∴t2=
16k2
1+2k2
=8-
8
1+2k2
，
∴-2＜t＜-
2
6
3
或
2
6
3
＜t＜2，∴實數(shù)t取值范圍為(-2，-
2
6
3
)∪(
2
6
3
，2)．（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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