Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=

1. A.
   0
2. B.
   1
3. C.
   -1
4. D.
   -1004.5

Answer 1

A
分析：法一：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，由此可以得出函數(shù)的周期為4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函數(shù)的性質得出f（-1）=0，從而可得f（1）=0，求出一個周期上的四個函數(shù)的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
法二：
解答：法一：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，
f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1），①
∴f（-x-1）=f（x+1），②
由①②得f（x+1）=-f（x-1）③恒成立，
∴f（x-1）=-f（x-3）④
由③④得f（x+1）=f（x-3）恒成立，
∴函數(shù)的周期是4，下研究函數(shù)一個周期上的函數(shù)的值
由于f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，由偶函數(shù)知f（1）=0，由周期性知f（3）=0
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=f（2009）=f（1）=0 　　
故選A
點評：本題考查函數(shù)奇偶性的運用，求解本題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的性質求出函數(shù)的周期以及一個周期中函數(shù)值的和，然后根據(jù)周期性求出函數(shù)值的和．