Question

設集合A={x|-2≤x≤a}，集合B={y|y=x²，x∈A}；
（1）化簡集合B；
（2）設集合C={z|z=2x+3，x∈A}，是否存在實數(shù)a，使得B⊆C．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x²的單調(diào)性以及圖象的頂點對a進行討論，從而求出B：a＜-2，B=∅；-2≤a≤0，B=[a²，4]；0＜a≤2，B=[0，4]；a＞2，B=[0，a²]；
（2）對應著（1）中的a的取值，使集合B⊆C，時得到限制a的不等式，解不等式即可判斷是否存在a，以及求出a的范圍，使得B⊆C．

解答： 解：（1）若-2＞a，即a＜-2，A=∅，∴B=∅；
若-2≤a≤0，y=x²在[-2，a]上單調(diào)遞減，∴a²≤y≤4，∴B=[a²，4]；
若0＜a≤2，B=[0，4]；
若a＞2，B=[0，a²]；
（2）若a＜-2，A=B=C=∅，符合B⊆C；
若a≥-2，C=[-1，2a+3]；
①若-2≤a≤0，-1≤2a+3≤3，B=[a²，4]，不滿足B⊆A；
②若0＜a≤2，B=[0，4]，要使B⊆C，則2a+3≥4，即

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2

≤a≤2；
③若a＞2，B=[0，a²]，要使B⊆C，則2a+3≥a²，解得2＜a≤3；
∴存在a∈（-∞，-2）∪[

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2

，3]，使B⊆C．

點評：考查描述法表示集合，二次函數(shù)的值域，二次函數(shù)的單調(diào)性，一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，以及子集的概念．