Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點在x軸上，且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點S(0，-

1

3

)的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q？若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所構成的等腰直角三角形可得b=c，由斜邊長可得c值，再由a²=b²+c²可求得a值；
（Ⅱ）先求出直線l為y軸、與x軸平行時圓的方程，聯(lián)立方程組求出可能存在的點Q，然后作出一般證明：即證明以AB為直徑的圓恒過點Q，只需分情況證明

QA

⊥

QB

，即證明

QA

•

QB

=0，聯(lián)立方程組由韋達定理即可證得；

解答：解：（Ⅰ）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，得b=c，
又斜邊長為2，即2c=2，解得c=1，故a=

2

c=

2

，
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為x2+(y+

1

3

)2=

16

9

；
當l為y軸時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
由

x2+(y+ 1 3 )2= 16 9 x2+y2=1

⇒

x=0 y=1

，
故若存在定點Q，則Q的坐標只可能為Q（0，1）．
下證明Q（0，1）為所求：
若直線l斜率不存在，上述已經證明．
設直線l：y=kx-

1

3

，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由

y=kx- 1 3 x2+2y2-2=0

⇒(9+18k2)x2-12kx-16=0，△=144k2+64(9+18k2)＞0，
x1+x2=

12k

18k2+9

，x1x2=

-16

18k2+9

，

QA

=(x1，y1-1)，

QB

=(x2，y2-1)，

QA

•

QB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-

4k

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

9+18k2

-

4k

3

•

12k

9+18k2

+

16

9

=0，
∴

QA

⊥

QB

，即以AB為直徑的圓恒過點Q（0，1）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查學生對問題的探究能力及解決問題的能力，綜合性強，難度較大．