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設向量
a
=(cos(α+β),sin(α+β)),
b
=(cos(α-β),sin(α-β)),且
a
+
b
=(
4
5
,
3
5
).
(1)求tanα;
(2)求
2cos2
α
2
-3sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
考點:兩角和與差的正弦函數,三角函數的化簡求值
專題:三角函數的求值
分析:(1)由向量的坐標運算和向量相等列出方程組,利用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡,再由商的關系求出tanα;
(2)由二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡式子,再由商的關系將式子用tanα表示,代入即可求值.
解答: 解:(1)由題意得,
a
+
b
=(cos(α+β)+cos(α-β),sin(α+β)+sin(α-β))=(
4
5
,
3
5
),
所以
cos(α+β)+cos(α-β)=
4
5
sin(α+β)+sin(α-β)=
3
5
,化簡得
cosαcosβ=
2
5
,①
sinαcosβ=
3
10
,②
,
得,tanα=
3
4
;
(2)由(1)得,tanα=
3
4
,
所以
2cos2
α
2
-3sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
=
cosα-3sinα
2
(
2
2
sinα+
2
2
cosα)
=
cosα-3sinα
sinα+cosα

=
1-3tanα
tanα+1
=
1-3×
3
4
3
4
+1
=-
2
7
點評:本題考查兩角差與和的正弦、余弦公式,二倍角的余弦公式,商的關系,以及向量的坐標運算和向量相等,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知角α的終邊過點P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈(
π
2
,π),則cosα的值是( 。
A、-
3
5
B、
3
5
C、-
4
5
D、
4
5

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科目:高中數學 來源: 題型:

設變量x、y滿足
x-y+1≥0
x+y-3≥0
2x-y-3≤0
,則目標函數z=2x+3y的最小值為(  )
A、7B、8C、22D、23

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科目:高中數學 來源: 題型:

有下列幾個命題:
(1)函數f(x)=sin(
π
3
-2x)(x∈R)在區(qū)間﹙-
π
12
,
12
﹚上單調遞增.
(2)當α∈﹙0,
π
2
﹚時,sinα<α<tanα.
(3)若y=sinx-logax有5個零點,則實數a取值范圍﹙
2
11π
2
﹚∪﹙
2
,
13π
2
﹚.
(4)一種放射性元素的質量按每年20%衰減,則這種射性元素的半衰期為2.5年(lg≈0.3).
(5)定義運算
.
a
b
c
d
.
=ad-bc,已知函數?(x)=
.
sinx
cosx
1
3
.
,若方程f2(x)=k在區(qū)間﹙-
π
12
,
π
4
﹚上有兩解,實數k的范圍是(0,2,-
3
).
其中正確命題的序號是
 
.(寫出所有正確命題的序號)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2sinωx(其中常數ω>0),若存在x1∈[-
3
,0)
,x2∈(0,
π
4
]
,使得f(x1)=f(x2),則ω的取值范圍為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

給出下列三個命題,
①任意x∈R,x2-2x+1>0,
②存在x0∈R,使得2 x0<1
③對于集合M,N,若x∈M∪N,則x∈M或x∈N;
④“x(x-l)=0”成立的必要不充分條件是“x=1”,
其中真命題的個數是 ( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數y=f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=
1
f(x)
,且當x∈[-1,1]時,f(x)=|x|,函數g(x)=
sinπx,x≥0
-
1
x
,x<0
,則函數h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]上的零點的個數為( 。
A、8B、9C、10D、11

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科目:高中數學 來源: 題型:

過三點(-2,0)(6,0)(0,-6)的圓的方程是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=4,b=4
3
,∠A=30°,那么∠B=( 。
A、30°B、60°
C、120°D、60°或120°

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