Question

設向量

a

=（cos（α+β），sin（α+β）），

b

=（cos（α-β），sin（α-β）），且

a

+

b

=（

4

5

，

3

5

）．
（1）求tanα；
（2）求

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：（1）由向量的坐標運算和向量相等列出方程組，利用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡，再由商的關系求出tanα；
（2）由二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡式子，再由商的關系將式子用tanα表示，代入即可求值．

解答： 解：（1）由題意得，

a

+

b

=（cos（α+β）+cos（α-β），sin（α+β）+sin（α-β））=（

4

5

，

3

5

），
所以

cos(α+β)+cos(α-β)= 4 5 sin(α+β)+sin(α-β)= 3 5

，化簡得

cosαcosβ= 2 5 ，① sinαcosβ= 3 10 ，②

，

②

①

得，tanα=

3

4

；
（2）由（1）得，tanα=

3

4

，
所以

2cos2 α 2 -3sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-3sinα

2 ( 2 2 sinα+ 2 2 cosα)

=

cosα-3sinα

sinα+cosα

=

1-3tanα

tanα+1

=

1-3× 3 4

3 4 +1

=-

2

7

．

點評：本題考查兩角差與和的正弦、余弦公式，二倍角的余弦公式，商的關系，以及向量的坐標運算和向量相等，屬于中檔題．