設f(x)的定義域為D,若f(x)滿足下面兩個條件,則稱f(x)為閉函數(shù),[a,b]為函數(shù)f(x)的閉區(qū)間.①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域為[a,b].
(1)寫出f(x)=x3的一個閉區(qū)間;
(2)若f(x)=
13
x3-k為閉函數(shù)求k取值范圍?
分析:(1)根據(jù)閉函數(shù)的定義,結合x3=x有三個解-1,0,1,可寫出使函數(shù)f(x)=x3為閉函數(shù)的區(qū)間;
(2)根據(jù)閉函數(shù)的定義,結合f(x)=
1
3
x3-k的單調(diào)性,可得f(x)=
1
3
x3-k為閉函數(shù)時f(x)=
1
3
x3-k=x至少有兩個不等的根,進而可得k取值范圍
解答:解:(1)[0,1],[-1,1],[-1,0](不必加以說明寫出即可)----(4分)
(2)∵f(x)=
1
3
x3-k
∴f′(x)=x2,
∵f′(x)≥0恒成立
故f(x)=
1
3
x3-k在定義域R上為增函數(shù)----(5分)
若f(x)=
1
3
x3-k為閉函數(shù)
則f(x)=
1
3
x3-k=x 有至少兩個不同的解----(6分)
即k=
1
3
x3-x有至少兩個不同的解
令g(x)=
1
3
x3-x
則g′(x)=x2-1
令g′(x)=0,則x=±1
∵g(-1)=
2
3
,g(1)=-
2
3

即函數(shù)g(x)=
1
3
x3-x的極大值為
2
3
,極小值為-
2
3

故k∈[-
2
3
,
2
3
]------------(10分)
點評:本題以新定義為載體考查了函數(shù)的單調(diào)性及判斷,方程根的個數(shù)問題,正確理解新定義是解答的關鍵.
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設f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)的導函數(shù)為f′(x),且對任意正數(shù)x均有f′(x)>
f(x)
x
,
(Ⅰ)判斷函數(shù)F(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上的單調(diào)性;
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18、設F(x)的定義域為R,且滿足F(ab)=F(a)F(b),其中F(2)=8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足下述條件:①f(x)是奇函數(shù);②f(x+2)是偶函數(shù);③在[-2,2]上,f(x)=F(x)
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設f(x)的定義域為D,f(x)滿足下面兩個條件,則稱f(x)為閉函數(shù).
①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②存在[a,b]⊆D,f(x)在[a,b]上的值域為[a,b].
如果f(x)=
2x+1
+k
為閉函數(shù),那么k的取值范圍是
-1<k≤-
1
2
-1<k≤-
1
2

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