Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g(x)=x+

a2

x

，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值．
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立等價于g（x₁）_min≥f（x₂）_max，從而轉(zhuǎn)化為分別求函數(shù)g（x），f（x）在[1，e]的最小值、最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

，
∴f（x）的增區(qū)間是（

1

e

，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜

1

e

，
∴f（x）的減區(qū)間是（0，

1

e

）．
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值f（x）_max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，等價于對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max．
當x∈[1，e]時，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函數(shù)f（x）=xlnx在[1，e]上是增函數(shù)．
∴[f（x）]_max=f（e）=e．
∵g(x)=x+

a2

x

，（a＞0），
∴g ′(x)=1-

a2

x2

=

(x+a)(x-a)

x2

，且x∈[1，e]，a＞0．
①當0＜a＜1且x∈[1，e]時，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0，
∴函數(shù)g(x)=x+

a2

x

，在[1，e]上是增函數(shù)，
∴[g（x）]_min=g（1）=1+a²．
由1+a²≥e，得a≥

e-1

，
又0＜a＜1，∴a不合題意．
②當1≤a≤e時，
若1≤x＜a，則g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
若a＜x≤e，則g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＞0．
∴函數(shù)g(x)=x+

a2

x

在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．
∴[g（x）]_min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥

e

2

，
又1≤a≤e，∴

e

2

≤a≤e．
③當a＞e且x∈[1，e]時，g′(x)= 

(x+a)(x-a)

x2

＜0，
∴函數(shù)g(x)=x+

a2

x

在[1，e]上是減函數(shù)．
∴[g(x)]min=g(e)=e+

a2

e

．
由e+

a2

e

≥e，得a∈R，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
綜上所述，a的取值范圍為[

e

2

，+∞)．

點評：本題綜合考查了極值存在的性質(zhì)及零點判定定理的運用，函數(shù)的恒成立問題，解決此類問題常把問題進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想、方程與函數(shù)的思想的運用．屬于中等難度的試題．