Question

若點（x，y）是曲線

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上的動點，且x²+2y的最大值為12，則b的值為

6

．

Answer 1

分析：由題意可得x2=4-

4y2

b2

代入x²+2y=4-

4y2

b2

+2y，可得關(guān)于y的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可

解答：解：∵P（x，y）是曲線

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上的動點，
∴x2=4-

4y2

b2

∴x²+2y=4-

4y2

b2

+2y=-

4

b2

(y2-

b2

2

y+

b4

16

 )+

b

4

2+4=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4（*）
∵-b≤y≤b
①當(dāng)b≤

b2

4

即b≥4時，y=b時（*）有最大值2b=12
∴b=6
②當(dāng)b≥

b2

4

即0＜b＜4時，y=

b2

4

（*）有最大值

b2

4

+4=12
∴b=4

2

（舍）或b=-4

2

（舍）
綜上可得，b=6
故答案為6

點評：本題主要考查了利用曲線方程求解二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值，解題中要注意區(qū)間端點與對稱軸的位置關(guān)系的討論，體系了分類討論思想的應(yīng)用