Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，且b≠0，函數(shù)，若對(duì)任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求出單調(diào)區(qū)間．
（2）分別表示出函數(shù)f（x）、g（x）的值域，根據(jù)f（x）的值域應(yīng)為g（x）的值域的子集可得答案．
解答：解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)a＞0時(shí)，∵f'（x）==
∵
即當(dāng)a＞0時(shí)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
（2）設(shè)f（x）的值域?yàn)锳，g（x）的值域?yàn)锽，
則由已知，對(duì)于任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），
使f（x₁）=g（x₂），得A⊆B
由（1）知a=1時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（x）在x∈（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的值域?yàn)锳=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在（1，2）上是減函數(shù)，
此時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123231315103576/SYS201310251232313151035021_DA/6.png">
為滿足
∴即
（ii）當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）在（1，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
此時(shí)，g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123231315103576/SYS201310251232313151035021_DA/10.png">
為滿足
∴
∴，
綜上可知b的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．