Question

設在平面上有兩個向量

a

=（cosα，sinα）（0°≤α＜360°），

b

=（-

1

2

，

3

2

）．
（1）求證：向量

a

+

b

與

a

-

b

垂直；
（2）當向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等時，求α的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知計算數量積為0，可判

a

+

b

與

a

-

b

垂直；（2）由|

3

a

+

b

|=|

a

-

3

b

|，兩邊平方化簡可得

a

•

b

=0，代入數據可得（-

1

2

）×cos α+

3

2

×sin α=0，即cos（α+60°）=0，由α的范圍可得．

解答：解：（1）∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=|

a

|²-|

b

|²
=（cos²α+sin²α）-（

1

4

+

3

4

）=0，
∴

a

+

b

與

a

-

b

垂直．
（2）∵|

3

a

+

b

|=|

a

-

3

b

|，
∴兩邊平方得3|

a

|²+2

3

a

•

b

+|

b

|²=|

a

|²-2

3

a

•

b

+3|

b

|²，
∴2（|

a

|²-|

b

|²）+4

3

a

•

b

=0．
又∵|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，
∴|

a

|=|

b

|，∴

a

•

b

=0，
代入數據可得（-

1

2

）×cos α+

3

2

×sin α=0，即cos（α+60°）=0，
∴α+60°=k•180°+90°，即α=k•180°+30°，k∈Z．
又0°≤α＜360°，
∴α=30°或α=210°．

點評：本題考查向量垂直于數量積的關系，涉及向量的模長．