已知曲線C:y=x2(x>0),過C上的點A1(1,1)作曲線C的切線l1交x軸于點B1,再過B1作y軸的平行線交曲線C于點A2,再過A2作曲線C的切線l2交x軸于點B2,再過B2作y軸的平行線交曲線C于點A&3,…,依次作下去,記點An的橫坐標(biāo)為an(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記bn=(8-2n)an,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:0<Tn≤4.
【答案】
分析:(I)由y'=2x(x>0).知切線l
n的方程為y-a
n2=2a
n(x-a
n).所以
.依題意點A
n+1在直線
上,所以數(shù)列{a
n}是1為首項,
為公比的等比數(shù)列.由此能求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)由
,知
.由錯位相減法能導(dǎo)出
,n≥2時,
.由n≥2時,T
n≤T
n-1,知T
n≤T
n-1≤…≤T
2,由此能夠證明0<T
n≤4.
解答:解(I)∵y'=2x(x>0).∴曲線C在點A
n(a
n,a
n2)處的切線l
n的斜率為k
n=2a
n.
∴切線l
n的方程為y-a
n2=2a
n(x-a
n).(2分)
令y
=0得
,
∴
.
依題意點A
n+1在直線
上,
∴
又a
1=1.(4分)
∴數(shù)列{a
n}是1為首項,
為公比的等比數(shù)列.
∴
.(5分)
(Ⅱ)由已知
.
∴
.①
.②
①-②得
=
=
.(9分)
∴
(10分)
又n≥2時,
.
又當(dāng)n≥2時,T
n≤T
n-1.
∴T
n≤T
n-1≤…≤T
2.
∴當(dāng)n=2時,T
1=T
2=4.
∴(T
n)
max=T
2=4,∴T
n≤4.(13分)
綜上0<T
n≤4.(14分)
點評:本題考查通項公式的求法和求證:0<T
n≤4.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.