如圖,已知平行四邊形中,四邊形為正方形,平面平面分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)證法1:∵, ∴且
∴四邊形EFBC是平行四邊形 ∴H為FC的中點(diǎn)-------------2分
又∵G是FD的中點(diǎn)
∴
∵平面CDE,平面CDE
∴GH∥平面CDE ---------------------------------4分
證法2:連結(jié)EA,∵ADEF是正方形 ∴G是AE的中點(diǎn)
∴在⊿EAB中, ------------------------------------------------------------------2分
又∵AB∥CD,∴GH∥CD,
∵平面CDE,平面CDE
∴GH∥平面CDE ---------------------------------------------------4分
(Ⅱ)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD且FA⊥AD, ∴FA⊥平面ABC D.
∵BD⊥CD, , ∴FA=2,()------------6
∴ =
∴()- ---------------8分
要使取得最大值,只須=()取得最大值,
∵,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)
取得最大值-----------------------------------------------------------------------9分
解法1:在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作于M,連結(jié)EM
∵ ∴平面EMD ∴
∴是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------10分
∵當(dāng)取得最大值時(shí),,
∴,
∴
即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為.------------------------------12分
解法2:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC所在的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,-----9
則,
∴,,
設(shè)平面ECF與平面ABCD所成的二面角為,
平面ECF的法向量
由得
令得 ------11分
又∵平面ABCD的法向量為
∴.-----------------------11分
即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為.------------------------------12分
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