如圖,已知平行四邊形中,四邊形為正方形,平面平面分別是的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:∥平面

(Ⅱ)當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 


(Ⅰ)證法1:∵,

∴四邊形EFBC是平行四邊形 ∴H為FC的中點(diǎn)-------------2分

又∵GFD的中點(diǎn)

平面CDE平面CDE

GH∥平面CDE  ---------------------------------4分

證法2:連結(jié)EA,∵ADEF是正方形  ∴GAE的中點(diǎn)

∴在⊿EAB中, ------------------------------------------------------------------2分

又∵ABCD,∴GHCD,

平面CDE,平面CDE

GH∥平面CDE  ---------------------------------------------------4分

(Ⅱ)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為ADFAAD,  ∴FA⊥平面ABC     D

BDCD,   ∴FA=2,)------------6

)- ---------------8分

要使取得最大值,只須)取得最大值,

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)

取得最大值-----------------------------------------------------------------------9分

解法1:在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作于M,連結(jié)EM

  ∴平面EMD  ∴

是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------10分

∵當(dāng)取得最大值時(shí),,

,

即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為.------------------------------12分

解法2:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC所在的直線為軸,所在的直線為軸,所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,-----9

,

,,

設(shè)平面ECF與平面ABCD所成的二面角為,

平面ECF的法向量

  ------11分

又∵平面ABCD的法向量為

∴.-----------------------11分

       即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的余弦值為.------------------------------12分

練習(xí)冊系列答案
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2
,∠ADC=45°,AE⊥BC,垂足為E,沿直線AE將△BAE翻折成△B′AE,使得平面B′AE⊥平面AECD.連接B′D,P是B′D上的點(diǎn).
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3

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如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:GH∥平面CDE;
(Ⅱ)當(dāng)四棱錐F-ABCD的體積取得最大值時(shí),求平面ECF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.

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AE
AF
的最大值為
31
2
31
2

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