有下列4個命題:
①函數(shù)y=f(x)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=f(x)在這點取極值的充要條件;
②若橢圓x2+my2=1的離心率為
3
2
,則它的長半軸長為1;
③對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有f(0)+f(2)≥2f(1);
④經(jīng)過點(1,1)的直線,必與
x2
4
+
y2
2
=1有2個不同的交點.
其中真命題的為
③④
③④
將你認為是真命題的序號都填上)
分析:令y=f(x)=x3,由f′(0)=0可判斷①的正誤;
當焦點在y時,可判斷②錯誤;
對x分x>1與x<1討論,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而可判斷③的正誤;
由于點(1,1)在已知橢圓內(nèi),從而可判斷④的正誤.
解答:解:令y=f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0,
∴f(x)在R上單調(diào)遞增,無極值,
但f′(0)=0,
∴①錯誤;
∵橢圓x2+my2=1的離心率為
3
2
,
∴當焦點在x軸時,長半軸a=1,短半軸b=
1
2

當焦點在y軸時,短半軸b=1,長半軸a=2,
故②錯誤;
對于③,∵(x-1)f′(x)≥0,
∴當x>1時,f′(x)≥0,即f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴f(2)>f(1);
當x<1時,f′(x)≤0,
同理可得f(0)>f(1);
∴f(0)+f(2)≥2f(1),即③正確;
對于④,∵
12
4
+
12
2
<1,
∴點(1,1)在已知橢圓內(nèi),
∴經(jīng)過點(1,1)的直線,必與橢圓
x2
4
+
y2
2
=1有2個不同的交點,故④正確;
綜上所述,真命題為③④.
故答案為:③④.
點評:本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查橢圓的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查分析推論與運算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:同步題 題型:單選題

已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5],部分對應(yīng)值如下表,
f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如下圖所示,下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題:
①函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)在[0,2]是減函數(shù);
③如果當x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;
④當1<a<2時,函y=f(x)-a數(shù)有4個零點;
其中真命題的個數(shù)是

[     ]

A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

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