Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=AB=AC=BC=SC，0為BC的中點(diǎn)．
（I）求證：SO⊥面ABC；
（II）求異面直線SC與AB所成角的余弦值；
（III）在線段AB上是否存在一點(diǎn)E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為；若存在，求BE：BA的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及所給的邊長(zhǎng)設(shè)SB=a，則SO=，AO=，SA=a，得到SO⊥OA，及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直；
（II）由題意及圖形特點(diǎn)以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在射線為x軸正半軸，以O(shè)A所在射線為y軸正半軸，以O(shè)S所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用異面直線所成角的定義求出夾角；
（III）由題意屬于開(kāi)放性的題目，利用假設(shè)存在，利用條件對(duì)于坐標(biāo)設(shè)出未知的變量，利用向量的知識(shí)解出變量的大小，進(jìn)而求出二面角的大小．
解答：解：（Ⅰ）
連接SO，顯然∴SO⊥BC，
設(shè)SB=a，則SO=，AO=，SA=a
∴SO²+OA²=SA²，∴SO⊥OA，
又∴BC∩OA=0，∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)C所在射線為x軸正半軸，以O(shè)A所在射線為y軸正半軸
以O(shè)S所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有O（0，0，0），
，，，，
∴
∴，
∴，
∴異面直線SC與AB所成角的余弦值為，
（Ⅲ）假設(shè)存在E滿足條件，設(shè)（0≤λ≤1），
則，
．
設(shè)面SCE的法向量為=（x，y，z），
由，得
，．
因?yàn)镺A⊥面ABC，所以可取向量=（0，1，0）為面SBC的法向量．
所以，，
解得，．
所以，當(dāng)BE：BA=1：2時(shí)，二面角B-SC-E的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了線面垂直的判定定理，還考查了利用空間向量的知識(shí)求異面直線所成的角及二面角，另外對(duì)于的三問(wèn)這樣開(kāi)放型的題目，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論，由此推出具備的條件，在由此條件得到是否存在．