(2009•湖北模擬)已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若A、B和雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( 。
分析:根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,得到等腰△ABE中,∠AEB為銳角,可得|AF1|<|EF1|,將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式,化簡(jiǎn)整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍.
解答:解:根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,得
△ABE中,|AE|=|BE|,
∴△ABE是銳角三角形,即∠AEB為銳角
由此可得Rt△AF1E中,∠AEF<45°,得|AF1|<|EF1|
∵|AF1|=
b2
a2
=
c2-a2
a 
,|EF1|=a+c
c2-a2
a 
<a+c,即2a2+ac-c2>0
兩邊都除以a2,得e2-e-2<0,解之得-1<e<2
∵雙曲線的離心率e>1
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是(1,2)
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題給出雙曲線過一個(gè)焦點(diǎn)的通徑與另一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成銳角三角形,求雙曲線離心率的范圍,著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)半徑為1的球面上有A、B、C三點(diǎn),其中點(diǎn)A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
2
,B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為
π
3
,則球心到平面ABC的距離為( 。

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(2009•湖北模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
1
2
an+n(n為奇數(shù))
an-2n(n為偶數(shù))
且bn=a2n-2(n∈N*
(1)求a2,a3,a4;
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(3)若Cn=-nbn,Sn為為數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和,求Sn-2.

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(2009•湖北模擬)已知命題p:|x|<2,命題q:x2-x-2<0,則p是q的( 。

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(2009•湖北模擬)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),對(duì)于x∈R都有f(x-6)=f(x)+f(3)成立,且f(0)=-2,當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0.則給出下列命題:
①f(2010)=-2;
②函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為x=-6;
③函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為增函數(shù);
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4個(gè)根.
其中正確命題的序號(hào)是
①②④
①②④
.(請(qǐng)將你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但定義域不同,則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”,例如解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧9}的“孿生函數(shù)”三個(gè):
(1)y=2x2+1,x∈{-2};(2)y=2x2+1,x∈{2};(3)y=2x2+1,x∈{-2,2}.
那么函數(shù)解析式為y=2x2+1,值域?yàn)閧1,5}的“孿生函數(shù)”共有( 。

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