【題目】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)),是函數(shù)的一個極值點(diǎn).

1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

2)設(shè),若,不等式恒成立,求的最大值.

【答案】(1) .(2)

【解析】

1)先對函數(shù)求導(dǎo),得到,根據(jù),得到,推出,解不等式,即可得出結(jié)果;

2)先由不等式恒成立,得到恒成立,記,分別討論兩種情況,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)最值,得到,再令,根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求其最值即可.

1)因?yàn)?/span>,所以,

是函數(shù)的一個極值點(diǎn),∴,解得

,解得,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2)不等式,可化為,

,,

當(dāng)時(shí),恒成立,則上遞增,沒有最小值,故不成立;

當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,

,則

,,令,

,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

故當(dāng)時(shí),取得最大值,

所以,即的最大值為

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