Question

13．已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，對任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，則下列正確的為（　　）

• A． （f（1）+1）•e＞f（2）+1
• B． 3e＜f（2）+1
• C． 3•e≥f（1）+1
• D． 3e²與f（2）+1大小不確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由此可得結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+1}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）-1}{{e}^{x}}$＞0，
∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
∴g（2）＞g（1）＞g（0），
∴（f（1）+1）•e＜f（2）+1，3•e＜f（1）+1，3e²＜f（2）+1，
∴3e＜f（2）+1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查抽象不等式的求解，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．