Question

7．從四面體ABCD的6條棱的中點(diǎn)及其四個(gè)頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率是（　�。�

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{24}{35}$
• D． $\frac{47}{70}$

Answer 1

分析 利用組合求出10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的所有的基本事件個(gè)數(shù)；
利用分類討論的方法求出取出的四點(diǎn)在一個(gè)平面上的所有的基本事件個(gè)數(shù)；
利用對(duì)立事件求出不共面的所有的基本的事件個(gè)數(shù)；
利用古典概型的概率公式求出這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率值．

解答 解：10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法為C₁₀⁴=210種，只要求出共面的即可；
共面的分三種情況：
①、四個(gè)點(diǎn)都在四面體的某一個(gè)面上，每個(gè)面6個(gè)點(diǎn)，有 C₆⁴=15種，
四個(gè)面共有4×15=60種情況；
②、其中三點(diǎn)共線，另一個(gè)點(diǎn)與此三點(diǎn)不在四面體的某一個(gè)面上，
而在與此三點(diǎn)所在直線異面的那條直線的中點(diǎn)，
顯然只有6種情況（因?yàn)樗拿骟w只有6條邊）；
③、其中兩點(diǎn)所在直線與另兩點(diǎn)所在直線平行，
且這四個(gè)點(diǎn)也不在四面體的某一個(gè)面上，畫圖可得出只有3種情況；
因此，取四個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法共有：210-60-6-3=141
所以這四個(gè)點(diǎn)不共面的概率為P=$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用排列、組合求古典概型的概率問(wèn)題，是較難的題目．