Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，直線(xiàn)l的參數(shù)方程是

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）．
（1）求極點(diǎn)在直線(xiàn)l上的射影點(diǎn)P的極坐標(biāo)；
（2）若M、N分別為曲線(xiàn)C、直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由直線(xiàn)的參數(shù)方程設(shè)設(shè)P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，得向量

OP

的坐標(biāo)，再利用它與l的一個(gè)方向向量垂直得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的方程，解得t值，最后將P的坐標(biāo)化成極坐標(biāo)即可；
（2）欲求|MN|的最小值，即求出圓上一點(diǎn)何時(shí)到直線(xiàn)的距離最小，先轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離最小值求解，結(jié)合直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解即得．

解答：解：（1）由直線(xiàn)的參數(shù)方程消去參數(shù)t得l：x-

3

y+3=0，
則l的一個(gè)方向向量為

a

=(3，

3

)，
設(shè)P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
則

OP

=(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
又

OP

⊥

a

，
則3(-3+

3

2

t)+

3

2

t=0，得：t=

3

2

3

，
將t=

3

2

3

代入直線(xiàn)l的參數(shù)方程得P(-

3

4

，

3

4

3

)，
化為極坐標(biāo)為P(

3

2

，

2

3

π)．
（2）ρ=4cosθ?ρ²=4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²及x=ρcosθ得（x-2）²+y²=4，
設(shè)E（2，0），則E到直線(xiàn)l的距離d=

5

2

，
則|MN|min=d-r=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)、直線(xiàn)的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．