Question

已知函數(shù)f（x）=

x

1+x2

．
（1）判斷其奇偶性；
（2）指出該函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性并證明；
（3）利用（1）、（2）的結(jié)論，指出該函數(shù)在（-1，0）上的增減性．

Answer 1

分析：（1）由已知易判斷出函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，進行判斷得到結(jié)論；
（2）任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用實數(shù)的性質(zhì)，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得到答案；
（3）由（1）可得函數(shù)為奇函數(shù)，由（2）可得函數(shù)在（0，1）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，即可得到答案．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R
∵f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
證明：任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1則
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）
因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是遞增函數(shù)；
（3）由于f（x）是R上的奇函數(shù)，在（0，1）上又是遞增函數(shù)，
因而該函數(shù)在（-1，0）上也是增函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義及判定方法是解答本題的關(guān)鍵．