Question

第八屆中國花博會將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b為常數且滿足b＜a．組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊AEF建游客休息區(qū)（點E，F分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為（l＞2b），如圖．設AE=x，△AEF的面積為S．
（1）求S關于x的函數關系式；
（2）試確定點E的位置，使得直角三角形地塊AEF的面積S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，分析可得，欲求，△AEF場地占地面積，只須求出圖中直角三角形的周長求出另一邊長AF，再結合直角三角形的面積計算公式求出它們的面積即得；
（2）對于（1）所列不等式，可利用導數研究它的單調性求它的最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）設AF=y，則x+y+

x2+y2

=l，
整理，得y=

l2-2lx

2(l-x)

．…（3分）
S=

1

2

xy=

x(l2-2lx)

4(l-x)

，x∈（0，b]．  …（4分）
（2）S′=

l

4

•

2x2-4lx+l2

(x-l)2

=

2l

4(x-l)2

(x-

2- 2

2

l)•(x-

2+ 2

2

l)，x∈(0，b]
∴當b≤

2- 2

2

l時，S′＞0，S在（0，b]遞增，
故當x=b時，Smax=

bl(2b-l)

4(b-l)

；
當b＞

2- 2

2

l時，在x∈(0，

2- 2

2

l)上，S′＞0，S遞增，在x∈(

2- 2

2

l，b)上，S′＜0，S遞減，
故當x=

2- 2

2

l時，Smax=

3-2 2

4

l2．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、函數解析式的求解及常用方法及導數的應用等基礎知識，屬于基礎題．