Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）研究函數(shù)f₂（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）判斷f_n（x）=0的實數(shù)解的個數(shù)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出要用的函數(shù)，對于函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是一個二次函數(shù)，配方整理看出導(dǎo)函數(shù)一定小于0，得到函數(shù)的單調(diào)性．
（II）首先驗證當(dāng)n=1時，只有一個解，在驗證n大于等于2時的情況，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)看出函數(shù)的單調(diào)性，看出交點的個數(shù)．
解答：解：（Ⅰ），f₂^′（x）=-1+x-x²=-，
所以f₂（x）在R單調(diào)遞減．
（Ⅱ）f₁（x）=1-x有唯一實數(shù)解x=1
由，
得f_n^′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n^′（x）=-（2n-1）＜0．
（2）若x=0，則f_n^′（x）=-1＜0．
（3）若x≠-1，且x≠0時，則．
①當(dāng)x＜-1時，＜0，x^2n-1+1＜0，f_n^′（x）＜0．
②當(dāng)x＞-1時，f_n^′（x）＜0
綜合（1），（2），（3），得f_n^′（x）＜0，
即f_n（x）在R單調(diào)遞減．
又f_n（x）=1＞0，
=
=，
所以f_n（x）在（0，2）有唯一實數(shù)解，從而f_n（x）在R有唯一實數(shù)解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實數(shù)解．
點評：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是可以導(dǎo)數(shù)看出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)與橫軸的交點個數(shù)．