Question

六個(gè)面分別寫上1，2，3，4，5，6的正方體叫做骰子．問
（1）共有多少種不同的骰子；
（2）骰子相鄰兩個(gè)面上數(shù)字之差的絕對(duì)值叫做這兩個(gè)面之間的變差，變差的總和叫做全變差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）任選一面寫上1．那么它對(duì)面的面有5種情況．如果是2，那么還剩下一圈四個(gè)面，這四個(gè)面是等價(jià)的．
任選一面寫上3，那么3的對(duì)面的有3種情況．余下的兩個(gè)面和兩個(gè)數(shù)字有2種情況．
一共的種數(shù)為 5×3×2=30．
故共有30種不同的骰子；
（2）設(shè)六個(gè)面數(shù)字為a，b，c，d，e，f．a(chǎn)，b對(duì)面，c，d對(duì)面，e，f對(duì)面．
設(shè)U為兩個(gè)面之差的絕對(duì)值，Ua表示a與另五個(gè)面之差絕對(duì)值的和．
a面的變差為Va=Ua-Uab
b面的變差為Vb=Ub-Uab
∴V=（Va+Vb+Vc+Vd+Ve+Vf）÷2=（Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf-2Uab-2Ucd-2Uef）÷2
其中Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf為一定值，可得這一定值為70，
∴Uab+Ucd+Uef最大時(shí)，V最小，Uab+Ucd+Uef最小時(shí)，V最大．
當(dāng)Uab=1，Ucd=1，Uef=1時(shí)取最小值，此時(shí)V最大，V_max=32
Uab+Ucd+Uef最大值為9，當(dāng)4+5+6-1-2-3這種情況時(shí)取得，
∴V的最小值為：V_min=26．
分析：（1）先任選一面寫上1．那么它對(duì)面的面有5種情況．如果是2，那么還剩下一圈四個(gè)面，這四個(gè)面是等價(jià)的．任選一面寫上3，那么3的對(duì)面的有3種情況．余下的兩個(gè)面和兩個(gè)數(shù)字有2種情況．最后根據(jù)乘法原理得出共有多少種不同的骰子；
（2）設(shè)六個(gè)面數(shù)字為a，b，c，d，e，f．a(chǎn)，b對(duì)面，c，d對(duì)面，e，f對(duì)面．再設(shè)U為兩個(gè)面之差的絕對(duì)值，Ua表示a與另五個(gè)面之差絕對(duì)值的和．從而有a面的變差為Va=Ua-Uab，b面的變差為Vb=Ub-Uab，寫出全變差V的表達(dá)式，根據(jù)Ua+Ub+Uc+Ud+Ue+Uf為一定值，可得這一定值為70，從而求出求V的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用、新定義等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．