Question

過(guò)雙曲線（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作漸近線y=的垂線與雙曲線左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍（ ）
A．（1，2）
B．（1，）
C．（，+∞）
D．（2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：設(shè)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F與漸近線y=垂直的直線為AF，根據(jù)題意得AF的斜率要小于雙曲線另一條漸近線的斜率，由此建立關(guān)于a、b的不等式，解之可得b²＞a²，從而可得雙曲線的離心率e的取值范圍．
解答：解：過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線y=的垂線，設(shè)垂足為A，
∵直線AF與雙曲線左右兩支都相交，
∴直線AF與漸近線y=-必定有交點(diǎn)B
因此，直線y=-的斜率要小于直線AF的斜率
∵漸近線y=的斜率為
∴直線AF的斜率k=-，可得＜-，
即＞，b²＞a²，可得c²＞2a²，
兩邊都除以a²，得e²＞2，解得e＞
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出過(guò)雙曲線焦點(diǎn)與一條漸近線垂直的直線，交雙曲線與左右兩點(diǎn)各一個(gè)交點(diǎn)，求雙曲線離心率取值范圍．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．