Question

15．已知直線y=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切線（其中e=2.71828…）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用直線y=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切線，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，m＞$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$對(duì)任意的x∈（0，2）成立，構(gòu)建函數(shù)，求出右邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{a-ax}{{e}^{x}}$=0，可得x=1，
∵直線y=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的切線
∴$\frac{a}{e}$=$\frac{1}{e}$，
∴a=1；
（Ⅱ）對(duì)任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{m}{2x-{x}^{2}}$成立，
∴m＞$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$對(duì)任意的x∈（0，2）成立，
令g（x）=$\frac{2{x}^{2}-{x}^{3}}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{x（x-1）（x-4）}{{e}^{x}}$，
∴0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x＞1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=1時(shí)，g（x）_max=$\frac{1}{e}$，
∴m＞$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．