求證:不論m取什么實數(shù),直線(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都經(jīng)過一個定點,并求出這個定點的坐標。

答案:略
解析:

思維分析:題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母m,給m任何一個實數(shù)值,就可以得到一條確定的直線,因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程.要證明這個直線系的直線都過一定點,就是證明它是一個共點的直線系,我們可以給出m的兩個特殊值,得到直線系中的兩條直線,它們的交點即是直線系中任何直線都過的定點.

另一思路是:由于方程對任意的m都成立,那么就以m為未知數(shù),整理為關(guān)于m的一元一次方程,再由一元一次方程有無數(shù)個解的條件求得定點的坐標.

解法1:對于方程(2m1)x+(m3)y(m11)0,令m0,得x3y110;令m=1,得x4y+100

解方程組得兩直線的交點為(2,-3)

將點(2,-3)代入已知直線方程左邊,得

2m1×2+(m3×(-3)-(m11=4m23m9m11=0。

這表明不論m為什么實數(shù),所給直線均經(jīng)過定點(2,-3).

解法2:將已知方程以m為未知數(shù),整理為

2xy1m+(-x3y11=0

由于m取值的任意性,有

解得x=2,y=3

所以所給的直線不論m取什么實數(shù),都經(jīng)過一個定點(2,-3).

點撥:(1)曲線過定點,即與參數(shù)無關(guān),則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0,從而求出定點;

(2)分別令參數(shù)為兩個特殊值,得方程組求出點的坐標,代入原方程滿足,則此點為定點.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR),

(1)求證:不論m取什么實數(shù)值,直線l與圓恒交于兩點;

(2)求直線l被圓C截得線段最短長度以及此時的直線方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案