【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx(b∈R),g(x).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)是否存在實(shí)數(shù)b使得函數(shù)y=f(x)在x∈(,+∞)上的圖象存在函數(shù)y=g(x)的圖象上方的點(diǎn)?若存在,請求出最小整數(shù)b的值,若不存在,請說明理由.(參考數(shù)據(jù)ln2=0.6931,1.6487)
【答案】(1)答案不唯一,具體見解析(2)存在,最小b的整數(shù)值為2
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在上的圖象有在函數(shù)的圖象上方的點(diǎn),則使不等式成立,即成立,令,求新函數(shù)的最值即可判斷.
(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞),且f′(x),
當(dāng)b≤0時、f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)b>0時,若0<x<b,則f′(x)<0,若x>b,則f′(x)>0,
函數(shù)f(x)在(0,b)上單調(diào)遞減,在(b,+∞)上單調(diào)遞增,
綜上得:當(dāng)b≤0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)b>0時,函數(shù)f(x)在(0,b)上單調(diào)遞減,在(b,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)b滿足題意,則存在x∈(,+∞)
使不等式lnx成立,
即b>ex﹣xlnx成立,
令h(x)=ex﹣xlnx,則h′(x)=ex﹣lnx﹣1,
令φ(x)=ex﹣lnx﹣1,則φ′(x)=ex,
因?yàn)?/span>φ′(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增、且φ′()2<0,φ′(1)=e﹣1>0,
且φ'(x)的圖象在(,1)上連續(xù),
所以存在x0∈(,1)使φ′(x0)=0.即0,即x0=﹣lnx0,
當(dāng)x∈(,x0)時,φ(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,φ(x)單調(diào)遞增,
則φ(x)的最小值φ(x0)lnx0﹣1=x01≥21=1>0,
所以h'(x)>0,h(x)在區(qū)間(,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
所以h(x)>h()lnln2=1.9952
所以存在實(shí)數(shù)b滿足題意,且最小b的整數(shù)值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示1,已知四邊形ABCD滿足,,E是BC的中點(diǎn).將沿著AE翻折成,使平面平面AECD,F為CD的中點(diǎn),如圖所示2.
(1)求證:平面;
(2)求AE到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),延長交橢圓于點(diǎn),的周長為8.
(1)求的離心率及方程;
(2)試問:是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,兩個焦點(diǎn)分別是是,,且,是曲線上的任意一點(diǎn),且點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為4.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)的左頂點(diǎn)為,若直線:與曲線交于兩點(diǎn),(,不是左右頂點(diǎn)),且滿足,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)點(diǎn)xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=6.
(1)A為曲線C1上的動點(diǎn),點(diǎn)M在線段OA上,且滿足|OM||OA|=36,求點(diǎn)M的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)E的極坐標(biāo)為(4,),點(diǎn)F在曲線C2上,求△OEF面積的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若在兩個成語中,一個成語的末字恰是另一成語的首字,則稱這兩個成語有頂真關(guān)系,現(xiàn)從分別貼有成語“人定勝天”、“爭先恐后”、“一馬當(dāng)先”、“天馬行空”、“先發(fā)制人”的5張大小形狀完全相同卡片中,任意抽取2張,則這2張卡片上的成語有頂真關(guān)系的概率為( 。
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,且,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若數(shù)列滿足,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時,數(shù)列具有如下性質(zhì):對于任意的,都存在使得,寫出你的探求過程,并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年5月20日以來,廣東自西北到東南出現(xiàn)了一次明顯降雨.為了對某地的降雨情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),氣象部門對當(dāng)?shù)?/span>20日~28日9天記錄了其中100小時的降雨情況,得到每小時降雨情況的頻率分布直方圖如下:
若根據(jù)往年防汛經(jīng)驗(yàn),每小時降雨量在時,要保持二級警戒,每小時降雨量在時,要保持一級警戒.
(1)若從記錄的這100小時中按照警戒級別采用分層抽樣的方法抽取10小時進(jìn)行深度分析.
①求一級警戒和二級警戒各抽取多少小時;
②若從這10個小時中任選2個小時,則這2個小時中恰好有1小時屬于一級警戒的概率.(2)若以每組的中點(diǎn)代表該組數(shù)據(jù)值,求這100小時內(nèi)的平均降雨量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年全國數(shù)學(xué)奧賽試行改革:在高二一年中舉行5次全區(qū)競賽,學(xué)生如果其中2次成績達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn),不用參加其余的競賽,而每個學(xué)生最多也只能參加5次競賽.規(guī)定:若前4次競賽成績都沒有達(dá)全區(qū)前20名,則第5次不能參加競賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績達(dá)全區(qū)前20名的概率都是,每次競賽成績達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.
(1)求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.
(2)如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競賽就結(jié)束,記該學(xué)生參加競賽的次數(shù)為,求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.
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