已知常數(shù)m>0,向量=(0,1),向量=(m,0),經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),以為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(-m,0),以為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中λ∈R.
(1)求點(diǎn)P的軌跡E;
(2)若m=2,F(xiàn)(4,0),問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點(diǎn),并且|MF|+|NF|=3.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.
【答案】分析:(1)由λ+=(m,λ),知直線AP方程為.由λ-4=(λm,-4),知直線NP方程為;所以,由此結(jié)合m的取值情況能夠求出點(diǎn)P的軌跡E.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求,此時(shí)有圓Q:(x-k)2+y2=(4-k)2;橢圓E:;其右焦點(diǎn)為F(4,0 ),且e=.由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y2-5kx+20k-30=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則.△=25k2-4×2(20k-30),由此能求出存在實(shí)數(shù)k=1滿足要求.
解答:解:(1)∵λ+=( m,λ),
∴直線AP方程為  ①
又λ-4=(λm,-4),∴直線NP方程為 ②
由①、②消去λ得 ,即 
故當(dāng)m=2時(shí),軌跡E是以(0,0)為圓心,以2為半徑的圓:x2+y2=4;
當(dāng)m>2時(shí),軌跡E是以原點(diǎn)為中心,以為焦點(diǎn)的橢圓:
當(dāng)0<m<2時(shí),軌跡E是以中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)為的橢圓.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k滿足要求,此時(shí)有圓Q:(x-k)2+y2=(4-k)2;
橢圓E:;其右焦點(diǎn)為F(4,0 ),且e=
由圓Q與橢圓E的方程聯(lián)立得2y2-5kx+20k-30=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則  ③
△=25k2-4×2(20k-30),
又|MF|=,|NF|=,而|MF|+|NF|=3;

由此可得  ④
由③、④得k=1,且此時(shí)△>0.故存在實(shí)數(shù)k=1滿足要求.
點(diǎn)評(píng):本題考查軌跡方程的求法和判斷k是否存在.解題時(shí)要注意分類討論思想和圓錐曲線性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)m>0,向量
a
=(0,1),向量
b
=(m,0),經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),以λ
a
+
b
為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(-m,0),以λ
b
-4
a
為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中λ∈R.
(1)求點(diǎn)P的軌跡E;
(2)若m=2
5
,F(xiàn)(4,0),問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點(diǎn),并且|MF|+|NF|=3
5
.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0)經(jīng)過定點(diǎn)A(0,-a)以
m
+λ
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B(0,a)以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中λ∈R.
(I)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若a=
2
2
,過E(0,1)的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn),求
EM
EN
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知常數(shù)a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0),經(jīng)過定點(diǎn)A(0,-a)以
m
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)B(0,a)以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中λ∈R.求動(dòng)點(diǎn)P所形成的曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知常數(shù)m>0,向量數(shù)學(xué)公式=(0,1),向量數(shù)學(xué)公式=(m,0),經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),以數(shù)學(xué)公式為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(-m,0),以數(shù)學(xué)公式為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中λ∈R.
(1)求點(diǎn)P的軌跡E;
(2)若m=2數(shù)學(xué)公式,F(xiàn)(4,0),問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k,0)為圓心,|QF|為半徑的圓與軌跡E在x軸上方交于M、N兩點(diǎn),并且|MF|+|NF|=3數(shù)學(xué)公式.若存在求出k的值;若不存在,試說明理由.

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