已知關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可作為一個(gè)橢圓、一條雙曲線和一條拋物線的離心率,則的取值范圍為   
【答案】分析:依題意可知方程有一個(gè)根是1,進(jìn)而可設(shè)x3+ax2+bx+c=0=(x-1)(x2+mx+n)根據(jù)多項(xiàng)式恒等的充要條件,的方程組,聯(lián)立后可求得m和n,進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2+mx+n,則可知f(x)=0的兩個(gè)根x1,x2分別作為橢圓和雙曲線的離心率,根據(jù)判別式大于0,令a為橫軸,b為縱軸,建立平面直角坐標(biāo)系,作出這三個(gè)不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域S,設(shè)P(a,b)是平面區(qū)域S內(nèi)的任意一點(diǎn),A(-1,1),則可知的幾何意義是直線的斜率,進(jìn)而可求得范圍.
解答:解:依題意,關(guān)于x的方程 x3+ax2+bx+c=0有一個(gè)根是1
所以可設(shè)x3+ax2+bx+c=0=(x-1)(x2+mx+n)
根據(jù)多項(xiàng)式恒等的充要條件,得
m-1=a①
n-m=b②
n+c=0③
、佗趦墒铰(lián)立得
m=a+1,n=a+b+1
構(gòu)造函數(shù) f(x)=x2+mx+n 即 f(x)=x2+(a+1)x+(a+b+1)
依題意f(x)=0的兩個(gè)根x1,x2分別作為橢圓和雙曲線的離心率
故 0<x1<1<x2
根據(jù)一元二次方程根的分布,可得關(guān)于實(shí)系數(shù)a,b的約束條件:
判別式=(a+1)2-4(a+b+1)=(a-1)2-4b-4>0
f(0)=a+b+1>0,f(1)=2a+b+3<0
令a為橫軸,b為縱軸,建立平面直角坐標(biāo)系,作出這三個(gè)不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域S,
設(shè)P(a,b)是平面區(qū)域S內(nèi)的任意一點(diǎn),A(-1,1),k=
則k的幾何意義是直線PA的斜率.
作圖,得-2<k<0
故答案為(-2,0)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了圓錐曲線的綜合知識(shí).涉及到了函數(shù)的根的分布,多項(xiàng)式恒等等知識(shí).屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓,一個(gè)拋物線,一個(gè)雙曲線的離心率,則
b
a
的取值范圍
-2<
b
a
<-
1
2
-2<
b
a
<-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A 若f(x)=2x+2-xlga是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=
1
10
1
10

B 已知關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
a
3
4
a
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•寧波模擬)已知關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
a<
3
4
a<
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根可作為一個(gè)橢圓、一條雙曲線和一條拋物線的離心率,則
b-1a+1
的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三(上)12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

已知關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓,一個(gè)拋物線,一個(gè)雙曲線的離心率,則的取值范圍   

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