Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA，則sinB+sinC的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\sqrt{3}}$]
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡acosC+ccosA=2bcosA，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，求解A即可．轉(zhuǎn)化sinB+sinC為B的正弦函數(shù)，根據(jù)角的取值范圍，推出相位的范圍，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：在△ABC中，∵acosC+ccosA=2bcosA，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
即sin（A+C）=2sinBcosA．
∵A+B+C=π，
∴sin（A+C）=sinB．
從而sinB=2sinBcosA．
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
所以sinB+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
故選：B．

點評 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的解法，考查計算能力．