Question

19、已知函數(shù)f（x）=（x²-ax+1）e^x，（a≥0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意x∈[0，1]，f（x）≥1恒成立，求a取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，先對函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2）先對a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，③當(dāng)0＜a≤1時(shí)，分別驗(yàn)證對于任意x∈[0，1]，f（x）≥1是否恒成立，最后綜合即得a取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=[x²+（2-a）x+（1-a）]e^x=（x+1）（x+1-a）e^x
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=（x+1）²e^x，所以f'（x）=（x+1）²e^x≥0對于任意x∈R成立，所以f（x）在x∈R單調(diào)增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0解得x₁=-1或x₂=a-1，且x₁＜x₂，
知f（x）在（-∞，-1）和（a-1，+∞）上增函數(shù)；
知f（x）在（-1，a-1）上減函數(shù)．
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上增函數(shù)，f（x）≥f（0）=1恒成立．
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，a-1]上減函數(shù)，f（x）≤f（0）=1，不恒成立．
③當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）[0，1]上增函數(shù)，f（x）≥f（0）=1恒成立．
綜上所述：0≤a≤1．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，解答的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的恒成立問題與最值的關(guān)系，是一道中檔題．