Question

（1）選修4-4：矩陣與變換
已知曲線C₁：y=

1

x

繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到曲線C₂：y²-x²=2，
（I）求由曲線C₁變換到曲線C₂對應(yīng)的矩陣M₁；    
（II）若矩陣M2=

2 0 0 3

，求曲線C₁依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對應(yīng)的變換T₁，T₂變換后得到的曲線方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在曲線C：

x=-1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）上求一點，使它到直線l的距離最小，并求出該點坐標和最小距離．
（3）（選修4-5：不等式選講）
將12cm長的細鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段，
（I）求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值；
（II）若這三條線段分別圍成三個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值．

Answer 1

分析：（1）（I）因為把曲線C₁逆時針旋轉(zhuǎn)θ角，得到曲線C₂，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M1=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

．
（II）先求出依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對應(yīng)的變換T₁，T₂對應(yīng)的矩陣，再設(shè)曲線C1上任一點經(jīng)過變換后的對應(yīng)點坐標，用變換后的坐標表示變換前的坐標，再代入變換前曲線滿足的方程，化簡即得變換后的曲線方程．
（2）先由直線l的極坐標方程求出直角坐標方程，設(shè)出曲線C上任意一點P坐標，用點到直線的距離公式求出點P到直線l的距離，再借助基本正弦函數(shù)的最值求出點P到直線l的最小距離．
（3）（I）因為長方體的體積為abc，而a+b+c=12，應(yīng)用不等式abc≤(

a+b+c

3

)3，就可求出體積的最大值．
（II）先把三個正三角形的面積和用S=

3

4

(l2+m2+n2)表示，因為l+m+n=4，而（l²+m²+n²）（1²+1²+1²）≥（l+m+n）²，所以只需讓S乘3再除3即可變形成公式的形式，求出最值．

解答：解：（1）（I）∵曲線C₁：y=

1

x

繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到曲線C₂：y²-x²=2，∴旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1=

cos45°  -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

；
（II）設(shè)依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對應(yīng)的變換T₁，T₂對應(yīng)的矩陣M=M2M1=

2 0 0 3

•

2 2 - 2 2 2 2 2 2

=

2 - 2 3 2 2 3 2 2

任取曲線C₁：y=

1

x

上的一點P（x，y），它在變換T_M作用下變成點P′（x′，y′），則有

x′ y′

=M

x y

，即

x′= 2 x- 2 y y′= 3 2 2 x+ 3 2 2 y

，∴

x= 3x′+2y′ 6 2 y= 2y′-3x′ 6 2

又因為點P在C₁：y=

1

x

上，得到

y′

18

2-

x′

8

2=1即

y

18

2-

x

8

2=1．
（2）∵直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐標方程是x+y-1=0
設(shè)所求的點為P（-1+cosθ，sinθ），則P到直線l的距離d=

|-1+cosθ+sinθ-1|

2

=|sin(θ+

π

4

)-

2

|
當θ+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z時，即θ=2kπ+

π

4

，k∈Z，d的最小值為

2

-1此時P(-1+

2

2

，

2

2

)
（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴V=abc≤(

a+b+c

3

)3=64；
當且僅當a=b=c=4時，等號成立．
（II）設(shè)三個正三角形的邊長分別為l，m，n，則l+m+n=4
∴這三個正三角形面積和為S=

3

4

(l2+m2+n2)
∴3S=

3

4

(l2+m2+n2)(12+12+12)≥

3

4

(l+m+n)2=4

3

∴S≥

4 3

3

當且僅當a=b=c=1時，等號成立．

點評：本題（1）主要考查了曲線的旋轉(zhuǎn)變換矩陣的求法以及根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換求曲線方程，（2）考查了極坐標方程與直角坐標方程的互換，（3）考查了均值不等式和柯西不等式的應(yīng)用．