Question

14．$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a^2}-1）{e^{ax}}，x＜0\end{array}\right.$對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x都有$\lim_{△x→0}\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}＞0$（其中△x表示自變量的改變量），則a的取值范圍是$（1，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義得出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，再由分段函數(shù)單調(diào)的條件列式計算．

解答 解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，f'（x）=$\lim_{△x→0}\frac{f（x+△x）-f（x）}{△x}＞0$，
所以，f（x）在定義域為單調(diào)遞增，則f（x）在各分段都為增函數(shù)，
①當(dāng)x≥0時，f（x）=ax²+1，要使函數(shù)遞增，則a＞0，
②當(dāng)x＜0時，f（x）=（a²-1）e^ax，要使函數(shù)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a^2-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a^2-1＜0}\end{array}\right.$（舍），
綜合①②得，a＞1，
又$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）≥$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$f（x），即1≥a²-1，解得a≤$\sqrt{2}$，
所以，實數(shù)a的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$]，
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的定義，以及運用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系，分段函數(shù)單調(diào)性的求解，屬于中檔題．