Question

已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為f（x）=25000+200x+

1

40

x2（元）．
（1）要使生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

Answer 1

（1）設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均成本為y元，則y=

25000+200x+ 1 40 x2

x

=

25000

x

+200+

1

40

x(x＞0)（2分）y′=-

25000

x2

+

1

40

（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
當(dāng)x∈（0，1000）時(shí)，y取得極小值．
由于函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，
因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品（6分）
（2）利潤函數(shù)L(x)=500x-(25000+200x+

x2

40

)=300x-25000-

1

40

x2（8分）L′(x)=300-

x

20

（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
當(dāng)x∈（0，6000）時(shí)，L'（x）＞0
當(dāng)x∈（6000，+∞）時(shí)，L'（x）＜0∴x=6000時(shí)，L（x）取得極大值，即函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值，
因此要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品（12分）